Introduzione
Rithmomachia è un gioco da tavolo per due persone. Il nome è di derivazione greca: la prima parte, rithmo, significa “numero”; la seconda parte, machia, significa “battaglia”. Dunque la Rithmomachia è la “battaglia dei numeri”, la cui sostanza consiste, come vedremo, nel creare delle proporzioni numeriche tra pedine numerate. Gioco privilegiato dalla classe intellettuale medievale, è conosciuto anche con l’espressione di ludus philosophorum (“il gioco degli intellettuali”).

Un po' di storia
Secondo Peter Mebben [3], la più antica evidenza scritta dell’esistenza della Rithmomachia risale al 1030, a Wurzburg. In una competizione tra le scuole delle cattedrali di Worms e Wurzburg – entrambe molto rinomate nel campo dell’aritmetica – fu redatto un testo di disputa contenente sequenze numeriche basate sul “De institutione arithmetica” di Boezio; sulla base di questo testo, un monaco di nome Asilo creò un gioco – Rithmomachia, appunto – utile agli studenti dei due monasteri per imparare la teoria numerica di Boezio.
La prima stesura fu adattata da altri scolari. Hermannus Contractus, rispettato monaco a Reichenau, rimaneggiò le regole di Asilo e aggiunse alcune note sulla teoria musicale (una seconda versione vuole invece che l’autore originale sia proprio Hermannus Contractus [6]).
Vi è anche chi ritiene che l’attribuzione sia da darsi al vescovo di Cambrai, Wibold, che nel 965 invitò i monaci locali a smettere di giocare a dadi e giocare invece “la battaglia fra le virtù e i vizi” [5]; potrebbe però trattarsi di un gioco diverso [2]. Vi sono peraltro diverse ipotesi che rivendicano un’origine ancora più antica, viste alcune corrispondenze fra la disposizione ed il movimento dei pezzi e la disposizione ed il movimento delle armate Romane [3] [6].
Fra l’XI e il XII secolo Rithmomachia si diffuse un po’ alla volta in tutta la Germania e la Francia. Le regole vennero ulteriormente estese. Fra il XII e il XIII secolo il gioco giunse anche in Inghilterra. Giovanni di Salisbury scrive nel suo “Policraticus” (1180) che “la conoscenza della battaglia dei numeri è una fonte di divertimento e di profitto (I,5)”. A sua volta Roger Bacon, nella “Communio mathematica” (I,3,4), consigliava lo studio dell’aritmetica di Boezio e l’utilizzo della Rithmomachia come ausilio didattico [1]. In Italia, invece, il gioco non trovò diffusione fino al XV secolo, mentre nella penisola iberica sembra addirittura risultare completamente sconosciuto [2].
A lungo Rithmomachia rimase in competizione con gli scacchi e per un certo periodo fu persino più rispettata degli scacchi medesimi. La ragione di ciò sta nel fatto che Rithmomachia era l’unico gioco previsto nei programmi delle scuole e università medievali – un privilegio che gli scacchi non ricevettero mai, in quanto gioco di ispirazione militare che non rispettava i canoni delle sette arti liberali. Nella Rithmomachia, infatti, lo scopo non è tanto quello di guerreggiare l’uno contro l’altro e sconfiggere l’avversario con le proprie armate, bensì quello di raggiungere un’armonia finale. Rithmomachia trovò la massima diffusione nel XVI secolo, in particolare come conseguenza dell’invenzione della stampa. Regole furono scritte da Shirwood (1474), Faber (1496), Boissiere (1554/56), Ries (1562), Fulke/Lever (1563), Selenus (1616). I maggiori centri di diffusione rinascimentale erano l’Inghilterra, la Francia, l’Italia e la Germania.
Alla fine del XVII secolo Rithmomachia perse popolarità e cadde pressoché nell’oblio.

Cenni sulla teoria numerica di Boezio
Anicius Manlius Severinus Boethius nacque intorno al 480 a (o presso) Roma e morì a Pavia nel 524.
I testi matematici di Boezio, per quanto di scarsa qualità, erano tra il meglio che si potesse trovare nell’alto medioevo e furono utilizzati per secoli in una Europa piuttosto arretrata nel campo della matematica. L’Arithmetica di Boezio era basata sul lavoro di Nicomaco e per gli scolari medievali fu la massima base di studio per la teoria numerica di Pitagora. Boezio fu una delle maggiori fonti di approvvigionamento per il quadrivio. [4]
L’aritmetica di Boezio è più difficile da comprendere, per un lettore moderno, rispetto ad altri testi matematici antichi quali ad esempio gli Elementi di geometria di Euclide. Infatti, il testo di Euclide procede attraverso prove e dimostrazioni, utilizzando metodi che in qualche modo fanno parte del moderno concetto di logica matematica. L’Arithmetica di Boezio, invece, si concentra piuttosto su definizioni che appaiono sostanzialmente arbitrarie; per questa ragione, il “vocabolario” di Boezio differisce notevolmente da quello della moderna aritmetica [2].
La matematica di Boezio è, così, dominata da definizioni di numeri e dalle loro reciproche relazioni; sono identificate proporzioni aritmetiche, geometriche, armoniche e altre ancora più complesse [5].
E’ chiaro, quindi, che la principale barriera all’apprezzamento del gioco da parte delle persone d’oggi derivi proprio da questa apparenza di arbitrarietà; un problema, invece, che non sembrano essersi posti i giocatori medievali. Questa differenza di sensibilità deriva chiaramente dalla presenza o dall’assenza dei testi di Boezio nel proprio background scolastico; non a caso, Rithmomachia venne giocata fintantoché fu insegnata l’Arithmetica di Boezio, ed entrambe le cose scomparvero insieme [2].

Le regole del gioco
Non esiste un unico set di regole per Rithmomachia. Durante la storia plurisecolare del gioco, le regole – pur mantenendo una identica struttura di fondo – sono cambiate spesso, anche su base geografica; la loro complessità, per fare un esempio, è passata dalle poche pagine scritte a mano della prima versione fino alle oltre cento pagine stampate nelle versioni più tarde. Probabilmente, nella prima fase di diffusione del gioco, ogni scuola adottava delle regole proprie, ossia quelle ritenute più adatte per una comprensione delle basi aritmetiche del gioco. Purtroppo, non esistono al momento evidenze archeologiche: nessuna pedina è mai stata ritrovata, né medievale né rinascimentale [3].
Il presente set di regole, pertanto, non intende rappresentare una specifica versione del gioco: l’obiettivo che mi sono posto è stato in generale quello di creare un set di regole il più possibile plausibile per un utilizzo nel XIII secolo, estrapolando dalle diverse versioni i caratteri generali e le regole base del gioco e intervenendo con correzioni personali là dove mi è parso che una certa libertà interpretativa fosse lecita. In particolare, per certi aspetti del gioco (ad esempio le catture), dove i testi medievali sono troppo sintetici e non completamente esaustivi, mi sono parzialmente affidato alle versioni rinascimentali, più dettagliate e evidentemente studiate ad hoc per essere disputate fra due giocatori senza la presenza di un maestro/arbitro (come invece ci si può ragionevolmente aspettare che accadesse agli inizi del gioco).

La tavola da gioco
La tavola da gioco scelta per questa versione può essere composta tanto da 112 caselle (8 caselle di larghezza per 14 di profondità) quanto da 128 caselle (8x16, ovvero due tavole da scacchi affiancate). Nei set di regole sopravvissuti, l’arrangiamento con 128 caselle è peraltro più comune di quello con 112 caselle. Sembra, inoltre, che in alcune versioni fosse previsto anche l’uso di una tavola con sole 96 caselle (8x12) [3].

Le pedine
Le pedine sono in numero di 24 per ciascun giocatore; una di esse, in realtà, è una piramide formata a sua volta da 5 o 6 elementi (vedremo più avanti una descrizione più dettagliata).
Le pedine hanno una diversa forma geometrica: 8 sono rotonde, 8 triangolari e 7 quadrate. Le piramidi hanno alla base una pedina quadrata, sormontata da quattro o cinque pedine anch’esse quadrate.
Le pedine, eccetto quelle costituenti le piramidi, sono dipinte sulle due facce con colori contrastanti (bianco e nero, rosso e blu, …) e su ciascuna di esse riportano un valore numerico; l’uso dei due colori deriva dal fatto che le pedine catturate al nemico vengono reintrodotte in gioco dalla propria parte. [Nota 1] Fa eccezione la piramide, che non cambia schieramento , se catturata, viene semplicemente rimossa: le sue pedine sono di un solo colore, ma riportano anch’esse un valore numerico.
Vediamo ora quali numeri devono essere riportati su ciascuna pedina. Le pedine sono divise in sei ranghi da 4 elementi ciascuno.
Il primo rango di cerchi è costituito dai numeri base: 2,4,6,8 per un giocatore (che da ora in poi, per questo motivo, verrà definito come il lato pari) e 3,5,7,9 per l’altro giocatore (che chiameremo lato dispari).
Il secondo rango di cerchi è costituito dal quadrato dei numeri base: 4,16,36,64 per le pari e 9,25,49,81 per le dispari.
Il primo rango di triangoli è costituito dalla somma dei due ranghi precedenti: 6,20,42,72 per le pari; 12,30,56,90 per le dispari.
Il secondo rango di triangoli è ottenuto sommando 1 a ciascun numero base ed elevando al quadrato il valore risultante: si ottiene 9,25,49,81 per le pari e 16,36,64,100 per le dispari.
Il primo rango di quadrati è dato dalla somma dei due ranghi di triangoli: 15,45,91(piramide),153 per le pari e 28,66,120,190(piramide) per le dispari.
Il secondo rango di quadrati è ottenuto sommando 1 al doppio di ciascun numero base ed elevando al quadrato il valore risultante: si ottiene 25,81,169,289 per le pari e 49,121,225,361 per le dispari.
I valori delle due piramidi sono dati dalla somma dei valori riportati su ciascuna delle pedine costituenti le stesse. La piramide pari è costituita da 6 pedine, che riportano i seguenti valori numerici: 1, 4, 9, 16, 25 e 36 (base). La piramide dispari è costituita da 5 pedine coi seguenti valori: 16, 25, 36, 49 e 64 (base). Si noti che tali valori sono tutti elevazioni al quadrato di un altro numero (es. 25 = 5^2)

Preparazione
All’inizio del gioco le pedine vengono disposte in “ordine di battaglia” al fondo della tavola. Anche in questo caso, come per le dimensioni della tavola, autori diversi riportano diverse disposizioni, tutte valide e adottabili. Nel nostro caso, andremo a disporre le 24 pedine esattamente su tre file, ponendo in prima linea i due ranghi di cerchi (alternando una pedina di primo e la corrispondente di secondo rango), in seconda linea i due ranghi di triangoli (alternando una pedina di primo e la corrispondente di secondo rango) e in terza linea i due ranghi di quadrati (alternando una pedina di primo e la corrispondente di secondo rango). [Nota 2]
L’inizio del gioco spetta al giocatore dispari, il quale ha minori possibilità di catturare pezzi e realizzare armonie. Grazie a questa disparità, è possibile far scontrare giocatori di diverso livello.

Scopo del gioco
Attraverso mosse tattiche, ogni giocatore deve per prima cosa eliminare la piramide nemica. Successivamente, deve realizzare un “trionfo” (v. oltre). La realizzazione di un “trionfo eccellente” porta alla conclusione definitiva del gioco. Con i trionfi minori (“trionfo mediocre” e “grande trionfo”) il gioco normalmente prosegue, ma i giocatori possono anche accordarsi preventivamente per dare loro un valore di vittoria o vittoria parziale.

Il movimento dei pezzi
I giocatori muovono alternativamente una pedina alla volta in una casella vuota, secondo regole caratteristiche di ciascuna forma geometrica. Anche le caselle attraversate dalle pedine nel loro movimento devono essere vuote: non è possibile “saltare” altre pedine. Le pedine si possono muovere in qualsiasi direzione (orizzontale, verticale e diagonale).
I cerchi si muovono di una casella.
I triangoli si muovono di due caselle.
I quadrati si muovono di tre caselle.
La piramide si muove di tre caselle (come i quadrati di cui è composta); essa non può essere volontariamenteseparata nelle sue unità costituenti.

La cattura dei pezzi (ad eccezione della piramide)
Esistono quattro diversi modi per catturare i pezzi dell’avversario, che per convenzione moderna andremo a chiamare: incontro, assedio, imboscata e assalto.
L’aspetto più importante della cattura è che, ogni volta che un pezzo è catturato, esso viene rigirato in modo da cambiare schieramento e reinserito alla base della scacchiera del giocatore catturante (se tutte le caselle della prima fila fossero occupate, su metterà nella seconda o eventualmente, se anche questa fosse tutta piena, nella terza fila). [Nota 3]
Solo le piramidi non possono cambiare schieramento e, una volta catturate, vengono semplicemente eliminate dalla tavola da gioco.
Per catturare un pezzo avversario, non si deve entrare fisicamente nella casella da esso occupato: è necessario solamente che vi sia questa possibilità, ovvero il pezzo da catturare deve trovarsi ad una distanza che corrisponda al movimento della pedina catturante. In pratica, se una pedina, prima o dopo il proprio movimento, si trova nelle giuste condizioni per la cattura di una pedina avversaria, la pedina avversaria può essere catturata. Nel caso in cui la cattura avvenga prima del movimento, ciò sostituisce il movimento stesso ed il turno del giocatore è finito. Le catture non sono obbligatorie.
La cattura per incontro avviene quando un pezzo si trova alla distanza di movimento da un pezzo avversario che ha il suo stesso numero; in tal caso il pezzo avversario è catturato.
La cattura per assedio avviene quando tutti i movimenti di una pedina sono impediti e ad impedirli contribuiscono esclusivamente pedine avversarie; in tal caso, la pedina assediata viene catturata dall’avversario. Tale tipo di cattura si applica solamente alle pedine di forma circolare.
La cattura per imboscata avviene quando due pedine si trovano adiacenti ad una pedina avversaria e la loro somma o prodotto è uguale al valore della pedina avversaria.
La cattura per assalto avviene quando una pedina si trova ad una distanza da una pedina avversaria tale che il prodotto fra il proprio numero e la distanza (contando anche le case occupate da entrambe le pedine) è uguale al numero della pedina avversaria; in tal caso l’avversario è catturato. Ad es. se la mia pedina ha il numero 4 e si trova a 4 caselle (comprese le due occupate) dal 16 avversario, posso catturare la pedina avversaria.

Come catturano e vengono catturate le piramidi
Le piramidi, come visto, hanno un ruolo centrale nel gioco, dal momento che la loro eliminazione è premessa necessaria alla realizzazione dei trionfi e quindi alla vittoria.
Le piramidi catturano come le altre pedine, con la sola differenza che esse possono concorrere col proprio valore complessivo oppure col valore di una qualsiasi delle pedine che le costituiscono; non sono, però, ammesse somme parziali. La cattura della piramide avviene attraverso la cattura della sua base e per far ciò sono ammesse solo le catture per incontro e per assalto. Nel momento in cui la base venga catturata, l’intera piramide è rimossa dal gioco.

Le proporzioni
Come già scritto in precedenza, obiettivo del gioco è costruire con le proprie pedine una o più proporzioni numeriche, così da realizzare un “trionfo”.
In primo luogo, il trionfo deve essere realizzato nella metà scacchiera avversaria; inoltre, non trattandosi di una cattura, non si guarderà la distanza di movimento delle pedine. Allora, perché un’armonia sia valida, i pezzi (tre o quattro, a seconda del tipo di armonia) devono semplicemente trovarsi in linea (orizzontale, verticale o diagonale) in caselle adiacenti o comunque equidistanti, oppure formare i vertici di un quadrato.
Nella proporzione aritmetica fra tre numeri, la differenza fra il più grande e il medio è uguale alla differenza fra il medio e il più piccolo. Se a, b, c sono i tre numeri di grandezza crescente: (c-b)=(b-a).
Esistono due tipi di proporzione geometrica. Nel primo caso, fra tre numeri, il rapporto fra il più grande ed il medio è uguale al rapporto fra il medio e il più piccolo: a,b,c=>(c/b)=(b/a). Nel secondo caso, fra quattro numeri: a,b,c,d=>(d/c)=(b/a).
Nella proporzione armonica o musicale fra tre numeri, il rapporto fra il più grande ed il più piccolo è uguale al rapporto fra la differenza tra il più grande ed il medio e la differenza fra il medio e il più piccolo: a,b,c=>(c/a)=(c-b)/(b-a).
Per come sono distribuite le pedine all’inizio del gioco, nessuno dei giocatori può realizzare una proporzione armonica (e dunque un “trionfo eccellente”, v. oltre) con le sole pedine inizialmente a disposizione. Pertanto, la cattura di almeno un pezzo nemico (oltre alla piramide) è condizione necessaria per vincere il gioco.

I tre trionfi
Esistono tre tipi di trionfo: trionfo mediocre, grande trionfo e trionfo eccellente. L’imminenza di un trionfo (cioè la possibilità di realizzarlo al turno successivo) deve essere annunciata nella mossa precedente, cosicché l’avversario possa tentare di evitarlo con la propria mossa. Questa regola non vale quando il trionfo è realizzato tramite cattura.
Si ha un trionfo mediocre quando con tre pedine si realizza una delle tre proporzioni sopra citate.
Si ha un grande trionfo quando con 4 pedine si realizzano contemporaneamente due delle tre proporzioni.
Si ha un trionfo eccellente quando con 4 pedine si realizzano contemporaneamente tutte e tre le proporzioni.

La ricostruzione della tavola da gioco
La ricostruzione della tavola da gioco ha rappresentato il completamento di questo lavoro di ricerca documentaria ed ha avuto anche un utilizzo “pratico” nel testare le diverse meccaniche del gioco e, in certi casi, portare a determinate scelte interpretative che – pur nel miglior rispetto possibile delle fonti – garantissero un’adeguata giocabilità.
La tavola è in legno d’abete ed ha una dimensione complessiva di 674 x 404 mm; come protettivo del legno è stato utilizzato l’olio di lino, passato in più mani su tutta la superficie. Le caselle, in numero di 112 (14x8), hanno la dimensione di 45x45 mm e sono state realizzate incidendo direttamente la superficie della tavola e successivamente ripassando il solco con colore ocra rossa (o sinopia). Infine, sulla superficie da gioco è stata passata della cera d’api, con funzione sia estetica che protettiva.
Le pedine sono realizzate in legno e le loro forme geometriche sono solo grossolanamente definite, senza alcuna ricerca di particolari estetismi. Anche la scelta dei colori è stata impostata sul criterio della semplicità: ocra gialla e ocra rossa, ovvero due terre particolarmente economiche, tanto oggi quanto nel medioevo. La preparazione dei colori è stata effettuata basandosi su una ricetta di inizi XII secolo, che prevede semplicemente di sciogliere il pigmento nell’olio di lino. I numeri, che sulle pedine sono riportati in notazione romana, sono di colore nero; il colore è stato realizzato mescolando dell’aceto di vino con un pigmento detto “nero di vite” (ottenuto dalla carbonizzazione dei tralci di vite). Infine, tutte le pedine sono state ricoperte con un velo protettivo di sandracca (una resina di origine nordafricana, solubile in alcol, già nota nel medioevo).
Da sottolineare è la forma delle pedine costituenti la piramide, che non sono tutte quadrate bensì in parte quadrate (le due inferiori), in parte triangolari (le due intermedie) e in parte circolari (la/e pedina/e superiore/i). La loro realizzazione, infatti, è avvenuta a studio non finito, quando ancora non mi era chiaro quale dovesse essere la loro esatta forma geometrica. Si tratta, quindi, di un erro, che verrà corretto in eventuale ristrutturazione della tavola da gioco e delle pedine, il degrado dei cui colori risulta essere più rapido del previsto.

Immagine 1: La tavola da gioco con le pedine in ordine di battaglia
Immagine 2: La disposizione delle pedine per il giocatore pari
Immagine 3: La disposizione delle pedine per il giocatore dispari
Immagine 4: Disposizione alternativa delle pedine sulla tavola da gioco
Immagine 5: Disposizione iniziale alternativa delle pedine per il giocatore pari
Immagine 6: Disposizione iniziale alternativa delle pedine per il giocatore dispari